Hotel de Hilbert

El hotel de Hilbert es una construcción abstracta inventada por uno de los matemáticos más influyentes del siglo XIX, el alemán David Hilbert.  Este hotel pretende ilustrar con un experimento algunas propiedades contra intuitivas de los conjuntos  infinitos.

Extracto de letra
«Bienvenidos al hotel de Hilbert
un lugar para visitar.
Aquí todos caben dentro,
aunque lleno se pueda encontrar«

El hotel de Hilbert representa  un edificio que posee infinitas habitaciones, las cuales están todas ocupadas por huéspedes y lo  central   en este contexto es mostrar que ellos se pueden reacomodar  para que puedan ingresar otros más. Aquí será relevante que este hotel es muy particular ya que posee infinitas habitaciones.

Al hotel de Hilbert llegan muchos visitantes y las habitaciones están enumeradas usando todos los números naturales (1,2,3,4,5,6…). En una ocasión  el lugar se repletó, el recepcionista había chequeado que cada habitación estaba ocupada y no quedaba ninguna habitación disponible.

A pesar de lo anterior, llegó un nuevo visitante y el recepcionista debía registrar al nuevo huésped. Es así como el recepcionista piensa en la posibilidad  de reacomodar a todos las huéspedes actuales y hacer un espacio para el visitante entrante. El amablemente  le pide a cada huésped que se dirija a la habitación siguiente  para dejar la primera habitación disponible, situación factible dado la infinidad de habitaciones.

Una vez ingresado el nuevo visitante el hotel de Hilbert, otra vez,  ha queda repleto. Pero ahora la situación se vuelve más compleja para el recepcionista, dado que llega un bus con infinitas personas. El recepcionista tiene un desafío mayor y requiere reacomodar a todos los huéspedes para dejar disponibles infinitas habitaciones. Es así que les comunica a cada uno de los  huéspedes que se dirijan a la habitación que resulta de multiplicar por dos a su habitación actual. De esta manera los huéspedes en el hotel sólo ocuparán las habitaciones pares, dejando disponible las habitaciones impares. Las personas del bus, que trae sus asientos numerados (con todos los números naturales), se les pide que ingresen a la habitación que resulta de multiplicar su asiento por dos y restar uno.